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| 指孔の位置と音程との関係 |
| ◆ 実験のデザイン 筒音の音程分析がすんだので、次は指孔の音程を分析することにします。笛の指孔の音程を一番左右するものは、指孔のある位置ですので、このセクションでは指孔の位置と周波数・開口端補正の関係を調べてみました。なお、共鳴や開口端補正を使って考察をしていますが、共鳴管としての物理特性を調べるというよりも、笛を作るにあたっての参考資料という側面に重点を置いています。 ○ 内径１１ｍｍアクリル管 （肉厚２．５ｍｍ） ○ 内径１３ｍｍ塩ビ水道管 （肉厚３．０ｍｍ） ○ 内径１６ｍｍ塩ビ水道管 （肉厚４．０ｍｍ） 材料は、筒音の研究と同じように上記の３種類です。肉厚に関しては、筒音の場合よりもさらに影響が大きそうな感じがしますが仕方ありません。この研究では、指孔のサイズは直径９ｍｍ、指孔同士の距離は２５ｍｍに固定して、管の内径のみ１１ｍｍ・１３ｍｍ・１６ｍｍと変化させて調べています。実験ですので、通常の笛と違い、指孔は８個あります。指孔サイズ・指孔同士の距離については別のセクションで実験をしていますので、そちらを見てください。 fig.1  筒音の研究では、基本的に共鳴に関係している部分を「唄口の管尻側端から管尻までの距離」としました。指孔の音程を調べる場合、共鳴管の有効な長さをどこにするかはさらにはっきりしませんが、ここでは「唄口の管尻側端から指孔の管頭側端までの距離」としました。上の写真では左から２つめの指孔までの距離を示していますが、もちろんこれを測定するときには一番左の指孔は閉じています。 また、説明が複雑になるので、以後はこれを「唄口から指孔までの距離」と記載しますが、正確には「唄口の管尻側端から指孔の管頭側端までの距離・vのことですので注意してください。 本来は、唄口のサイズは１０ｘ１２ｍｍぐらいの方が音は良いのですが、今回の実験では、筒音の実験と条件をそろえるために、唄口のサイズを９ｘ１１ｍｍとやや小さめのものにしています。１０ｘ１２ｍｍの唄口の場合は、９ｘ１１ｍｍの唄口のものより少し周波数が高くなりますので、その点は注意してください。 計測は、通常の笛を吹くときと同じように、息の強さと唇の角度を一定にするよう注意しながら、低い音から順番に音を出してひとまとめに尺八運指チューナーに録音し、あとから解析しています。周波数の値は、音が出始めてから０．５秒後のあたりをサンプリングしています。 室温はすべて２２℃で計測を行っています。ただし、笛を吹いていると、吐く息のせいで管の温度が上がるためか、わずかに周波数が上がってきます。計測は周波数の上昇がおさまってピッチが安定したところで行っていますので、管内の空気温は２２℃よりも高いかもしれません。 開口端補正に関しては、唄口側と指孔側の両方に開口部があるので、１／２にすべきかもしれません。しかし、唄口と指孔では形状がかなり違うために両方の開口端補正が等しいかどうかははっきりしません。そのため、そべて唄口側と指孔側の両方の開口端補正の合計で示していますので注意してください。 ◆ 実験結果 具体的な数値を見てみたい方は、yubi01.xls を見て下さい。 ◆ 指孔の位置と周波数 下のfig.2が、指孔の位置と呂音・甲音の周波数との関係です。ほぼ双曲線になっていますが、もちろん開口端補正があるために厳密には双曲線ではありません。また、呂音も甲音も、管の内径が１１ｍｍ・１３ｍｍ・１６ｍｍと太くなるにしたがって、唄口から指孔までの距離が同じでも、音程が下がってくることがわかります。 例えば、唄口から指孔までの距離が２００ｍｍのところで見てみると、 呂音では、・P１ｍｍ管で７３８Ｈｚ（F# -5%）、１３ｍｍ管で７０５Ｈｚ（F +16%）、１６ｍｍ管で６６８Ｈｚ（E +23%） 甲音では、１１ｍｍ管で１４６０Ｈｚ（F# -23%）、１３ｍｍ管で１３９１Ｈｚ（F -7%）、１６ｍｍ管で１３２０Ｈｚ（E +2%） と、１１ｍｍ管と１６ｍ管では、唄口から指孔までの距離が同じでも、１音ぐらい違うことがわかります。 fig.3は、１３ｍｍ管で、唄口からの距離が同じ場合でも、筒音と指孔では周波数はどう違うかを比較したものですが、呂音・甲音ともに指孔の音の方が筒音よりもやや低いということがわかります。 例えば、１３ｍｍ管で、唄口から指孔までの距離が２００ｍｍのところで見てみると、 呂音（１倍音）では、筒音で７４８Ｈｚ（F# +19%）、指孔で７０５Ｈｚ（F +16%） 甲音（２倍音）では、筒音で1484Ｈｚ（F# +5%）、指孔で１３９１Ｈｚ（F -7%） と、筒音と指孔では、唄口から指孔までの距離が同じでも、半音ぐらい違うことがわかります。
fig.4とfig.5は、fig.3と同様に、唄口からの距離が同じ場合でも、筒音と指孔では周波数はどう違うかを比較したものです。fig.4が１１ｍｍ管、fig.5が１６ｍｍ管のデータですが、やはり、呂音・甲音ともに指孔の音の方が筒音よりもやや低いということがわかります。 筒音の研究では、唄口から管尻までの距離が同じでも、内径が細くなるにしたがって周波数が上がっていました。これは、ちょっと考えると管尻が開口部になっているわけですから、開口部が小さくなると周波数が上がるような感じがしてしまいます。指孔のサイズは直径９ｍｍと筒の断面よりも小さく、開口部が筒音の場合よりも小さくなっているわけで、指孔の音・ﾌ方が周波数が上がるように思えてしまいますが、これは事実と反します。 結局、共鳴管の内径の大きさ（断面積）と開口部の大きさは全く別のパラメーターで、共鳴管の内径が小さくなれば周波数は上昇するが、音の高さを決定する開口部は、小さくなると周波数は減少するということです。笛の場合、実際には音の高さを決定する指孔のひとつ管尻側にある孔も音程に多少の影響を与えており、全体でひとつの開口部としてとらえれば良いと考えています。
◆ 指孔の位置と開口端補正 fig.6は、指孔の位置と開口端補正との関係を、内径１１ｍｍ・１３ｍｍ・１６ｍｍの３種類について計算してみたものです。筒音の開口端補正のグラフと同じように、呂音（１倍音）の開口端補正は指孔の位置に関わらずほとんど一定であるのに対して、甲音（２倍音）の開口端補正は指孔の位置が唄口に近づいて行くにつれて、少しずつ増加して行きます。 しかし、共鳴管の長さが約半分、つまり周波数が約２倍になっても、甲音の開口端補正は１０％弱しか増加しておらず、波長や周波数の影響は大したことは無いと考えた方が良さそうです。この甲音の開口端補正の変化は、共鳴管の物理特性なのか、単に笛を吹く息の強さや唇の角度のせいなのかは、はっきりしません。 それに対し、笛の内径による差はかなり大きいようです。呂音で見てみると、開口端補正は１１ｍｍ管より１３ｍｍ管の方が約１１ｍｍ大きく、１３ｍｍ管より１６ｍｍ管の方が約１３ｍｍ大きくなっています。式で説明すれば、 開口端補正 ＝ （ （ ｎ ／ ２ ） ｘ 音速 ／ 周波数 ） − 唄口と指孔の距離 ですから、１１ｍｍ・ﾇと１３ｍｍ管の指孔で同じ周波数の音を出したいと考えた場合、 １１ｍｍ管の唄口と指孔の距離 − １３ｍｍ管の唄口と指孔の距離 ＝ １３ｍｍ管の開口端補正 − １１ｍｍ管の開口端補正 という式が成り立ち、笛の内径が２ｍｍ変化しただけで、指孔の開ける位置が約１１ｍｍ変化するということを意味しています。 なお、一番唄口から遠い指孔（第１孔）の開口端補正だけ他の指孔と違うように見えますが、これは管尻の開口部の影響と考えられます。開口端補正を考える時に、共鳴管の開口部を「唄口に一番近い開放された指孔」とみなしていますが、実際にはそのひとつ管尻側の指孔も周波数にわずかな影響を与えています。 また、測定上は影響を受けませんが理論的にはそれ以外の開放されている指孔と管尻の開口部も影響を与えていると思われます。 第１孔以外は、ひとつ管尻側の指孔の条件（指孔間距離や指孔径）が等しいのですが、第１孔だけは、ひとつ管尻側の穴（つまり管尻の穴）までの距離が長いために開口端補正がやや大きくなり、わずかに予想よりも音程が下がるということなのです。もちろん、第１孔と管尻の距離がずっと短くなってくれば、逆に第１孔の開口端補正だけが他の指孔よりも小さくなります。このあたり、別のページで詳しく研究しています。
fig.7・fig.8・fig.9は、指孔の開口端補正のグラフを１３ｍｍ管・１１ｍｍ管・１６ｍｍ管に分けて、それぞれの筒音の開口端補正のグラフと比較した者です。ｙ軸のゼロ点やスケールがすべて違うので注意してください。
いずれにせよ、指孔と筒音では、同じ内径の笛で見てみると開口端補正が１０数mm違うことは確かなようで、管の内径が太くなって行くにつれてその差も大きくなるようです。この理由ははっきりしませんが、指孔の直径はすべて９ｍｍであり、１１ｍｍ管に対しての９ｍｍと１６mm管に対しての９ｍｍとでは、内径に対する指孔径の比がかなり違うので、そのためかもしれません。 呂音の開口端補正は指孔の位置にかかわらずほぼ一定であるのに対・ｵて、甲音の開口端補正は、グラフで見るとわかるように、指孔の位置が唄口に近づいてゆくにしたがい、少しずつ大きくなってゆきます。下の表は、２孔と８孔の位置が同じではないので、きちんと比較はできないのですが、開口端補正とその呂甲差を調べてみました。
第２孔、つまり唄口から遠い孔では、管の内径が大きくなるにつれて呂音と甲音の開口端補正の差は小さくなる傾向にあるようです。しかし、唄口に一番近い第８孔では、呂甲差と管の内径の関係ははっきりせず、誤差に埋もれてしまっているようです。
◆ オクターブ比 fig. 10は、指孔の位置と呂音・甲音のオクターブ比をグラフにしたものです。fig. 11は同じものを筒音のオクターブ比のグラフと重ね合わせて、Ｘ軸のスケールを調整したもので、濃い色が指孔、薄い色の方が筒音のグラフです。 グラフで見る限り、指孔に位置によるオクターブ比の変化は、１１ｍｍ管・１３ｍｍ管・１６ｍｍ管ともにほとんど同じで、差は誤差範囲程度のものと思われます。筒音のオクターブ比は管の内径が小さいほど悪いのに対し、指孔の位置によるオクターブ比は管の内径と関係が無さそうなのは、指孔の直径が９ｍｍとすべて同じであることが関係しているのかもしれません。
◆ 近似式  Ｋ： 開口端補正L： 共鳴管の長さ V： 音速 H： １倍音の周波数 以上のように変数を設定し、開口端補正と共鳴管の長さの近似直線を、 Ｋ ＝ ａ Ｌ ＋ ｂ とすると、 Ｋ ＝ （ 0.5 Ｖ ／ Ｈ ） − Ｌ Ｈ＝0.5 Ｖ ／ （ Ｌ ＋ （ ａ Ｌ ＋ ｂ ） ） ＝0.5 Ｖ ／ （ （ 1 ＋ ａ ） Ｌ ＋ ｂ ） 変形すると、 Ｌ ＝ （ （ 0.5 Ｖ ／ Ｈ ） − ｂ ） ／ （ 1 ＋ ａ ） 以下、作業中 なお、開口端補正と共鳴管の長さの近似直線は、平行と思われる部分（１１ｍｍ管と１３ｍｍ管は最初の４つ、１６ｍｍ管では３番目〜６番目）をサンプルとし、Fit Equation Analizer を使い、最小２乗法によって求めました。 |
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